Protos arithmos: 2,3,5,7,11,13,17,19,...

Así aprendimos a encontrar los números primos

Probablemente fuera así, πρώτος αριθμός , como llamara Euclides a los números primos. Porque en sus "Elementos", escritos en la colonia griega de Alejandría en el 300 a.C., es donde se recogen por primera vez la definición y ciertas hipótesis sobre estos curiosos números. Y digo probablemente porque este texto no llegó hasta Europa Occidental hasta 1.400 años después (que se dice pronto), y no en su griego original, sino a través de una traducción árabe intermedia. "Protos" en el sentido de "los primeros", los más importantes, cuyo sentido se mantuvo en el latín "Primo" (y nada que ver con el hijo de tu tío).

Durante siglos, los números primos fueron "coto cerrado" de los matemáticos, que parecían divertirse explorando sus características y formulando hipótesis y conjeturas de difícil probatura. A modo de ejemplo, dos de las más famosas y, todavía hoy, no demostradas:

Hipótesis de Riemann (formulada por el matemático alemán Bernhard Riemann en 1859): "La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2"

Sólo nos falta saber que la función zeta de Riemann es:

y que la relación de la hipótesis con los números primos es que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armónicas en la distribución de los números primos.

Nota: Si no has entendido nada, yo tampoco. Sigue leyendo, por favor. El Instituto Clay de Matemáticas ofrece un premio de 1 millón de $ a quien la demuestre.

Conjetura de Goldbach: "Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos". En realidad, parece que la conjetura original, contenida en una carta de Goldbach a Euler en 1742 era "Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos". Esta segunda se pasó a conocer como "conjetura débil", porque si se demostraba la primera (la "fuerte"), automáticamente quedaba demostrada la "débil" (pero no a la inversa). En 2013 el matemático peruano Harald Andrés Helfgott (Lima, 1977), demostró la conjetura débil, 271 años después de su formulación.

Pero nos sigue quedando la fuerte. Parece que ya se ha demostrado cierta para todos los números pares menores que 10 elevado a la 18. Pero un matemático no se conforma con eso; o se demuestra para todos o no vale.

Bien, ¿y? ¿A qué viene este largo preámbulo sobre los números primos en un blog sobre el futuro? Pues porque, como suele suceder, hay una noticia reciente que trae este tema a la actualidad y nos plantea nuevos interrogantes. El 7 de enero pasado, Curtis Cooper, matemático que investiga en la University of Central Missouri (UCMO para los amigos, con sede en Warrensburg, cerca de Kansas City y web www.ucmo.edu ), anunció el "descubrimiento" del mayor número primo comprobado a la fecha. Que no es otro que  2^74,207,281 − 1 . Que me perdonaréis que no lo escriba completo, pero es que tiene 22.338.618 dígitos...

Número 39 de Mersenne en filatelia

Este número "inabarcable" para el entendimiento común, es el número 49 de un grupo muy peculiar de primos conocidos como los "Números de Mersenne", en honor al abad francés Marin Mersenne, quien en el siglo XVII se tiró a la piscina diciendo que, si había que buscar números primos grandes, se probara con los 2^p − 1, siendo p un número primo. Que no quiere decir que todos sean primos, pero que algunos hay. ¿Por qué se ha centrado casi exclusivamente la búsqueda de números primos excepcionalmente grandes en este grupo? Pues porque existe un "test de primalidad" (la forma de demostrar si un número es primo o no), llamado de Lucas-Lehmer que hace que sea relativamente fácil aplicarlo a un número de Mersenne.

Está claro que la única forma de seguir descubriendo números primos y demostrar su primalidad es mediante el uso de potentes ordenadores. La GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) es la iniciativa de computación distribuida (la que usa la potencia de muchos ordenadores en paralelo) que ha permitido los últimos descubrimientos y en la que se confía para seguir encontrándolos.

Volvemos a la pregunta del millón: ¿y para qué sirven los números primos, aparte de para que los escolares aprendan a descomponer un entero positivo en sus factores primos o para divertimento de los matemáticos? Pues fue a finales de los años 70 del siglo pasado cuando se empezaron a desarrollar los llamados sistemas de encriptado de clave pública ("public-key encription systems") que significaron una revolución sobre los métodos anteriores (¿quién no recuerda lo "fácil" que le resultó a Alan Turing y su equipo de Bletchley Park descifrar, en plena 2ª Guerra Mundial, el código Enigma de los nazis?).

Uno  de los más usados todavía es el denominado algoritmo RSA en honor a sus descubridores (Rivest, Shamir y Adleman). Copio de la Wikipedia: "Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto. Actualmente estos primos son del orden de 10 elevado a 200, y se prevé que su tamaño crezca con el aumento de la capacidad de cálculo de los ordenadores. Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada. Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada."

O sea que por ahí va la utilidad de descubrir números primos cada vez mayores: sistemas de encriptado y de firma electrónica cada vez más seguros.

De todas formas, volviendo al principio del post, no deja de maravillarme el bueno de Euclides, en su Alejandría natal, llegando a la conclusión de que los números primos son infinitos y formulando lo que se conoce como el "teorema fundamental de la aritmética": "Todo número entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos". 670 años antes de que, en esa misma ciudad, naciera Hipatia. Y cuando, todavía, "Castilla era tierra de bárdulos" (vamos, que por aquel entonces la aritmética y la geometría no eran nuestro fuerte).